الرياضيات المتناهية الأمثلة

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 0 & 0.64 \\ 1 & 0.223 \\ 2 & 0.09 \\ 3 & 0.027 \\ 4 & 0.013 \\ 5 & 0.007 \end{array}$

خطوة 1

أثبِت أن الجدول المُعطى يستوفي الخاصيتين اللازمتين لتوزيع الاحتمالات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

يأخذ المتغير العشوائي المنفصل $x$ مجموعة من القيم المنفصلة (مثل $0$ ، و $1$ ، و $2$ ...). يخصص توزيع احتمالاته احتمالاً $P (x)$ لكل قيمة ممكنة $x$ . لكل $x$ ، تقع الاحتمالية $P (x)$ بين $0$ و $1$ (مع شمول كليهما) ويكون مجموع الاحتمالات لجميع قيم $x$ الممكنة يساوي $1$ .

1. لكل $x$ ، $0 \leq P (x) \leq 1$ .

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

خطوة 1.2

تقع $0.64$ في النطاق الممتد من $0$ إلى $1$ ، وهذا يتوافق مع الخاصية الأولى لتوزيع الاحتمالات.

تقع $0.64$ في النطاق الممتد من $0$ إلى $1$

خطوة 1.3

تقع $0.223$ في النطاق الممتد من $0$ إلى $1$ ، وهذا يتوافق مع الخاصية الأولى لتوزيع الاحتمالات.

تقع $0.223$ في النطاق الممتد من $0$ إلى $1$

خطوة 1.4

تقع $0.09$ في النطاق الممتد من $0$ إلى $1$ ، وهذا يتوافق مع الخاصية الأولى لتوزيع الاحتمالات.

تقع $0.09$ في النطاق الممتد من $0$ إلى $1$

خطوة 1.5

تقع $0.027$ في النطاق الممتد من $0$ إلى $1$ ، وهذا يتوافق مع الخاصية الأولى لتوزيع الاحتمالات.

تقع $0.027$ في النطاق الممتد من $0$ إلى $1$

خطوة 1.6

تقع $0.013$ في النطاق الممتد من $0$ إلى $1$ ، وهذا يتوافق مع الخاصية الأولى لتوزيع الاحتمالات.

تقع $0.013$ في النطاق الممتد من $0$ إلى $1$

خطوة 1.7

تقع $0.007$ في النطاق الممتد من $0$ إلى $1$ ، وهذا يتوافق مع الخاصية الأولى لتوزيع الاحتمالات.

تقع $0.007$ في النطاق الممتد من $0$ إلى $1$

خطوة 1.8

بالنسبة إلى كل $x$ ، تقع الاحتمالية $P (x)$ في نطاق الأعداد بين $0$ و $1$ بما في ذلك كلاهما، وهذا يتوافق مع الخاصية الأولى لتوزيع الاحتمالات.

$0 \leq P (x) \leq 1$ لجميع قيم x

خطوة 1.9

أوجِد مجموع الاحتمالات لجميع قيم $x$ الممكنة.

$0.64 + 0.223 + 0.09 + 0.027 + 0.013 + 0.007$

خطوة 1.10

مجموع الاحتمالات لجميع قيم $x$ الممكنة هو $0.64 + 0.223 + 0.09 + 0.027 + 0.013 + 0.007 = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.10.1

أضف $0.64$ و $0.223$ .

$0.863 + 0.09 + 0.027 + 0.013 + 0.007$

خطوة 1.10.2

أضف $0.863$ و $0.09$ .

$0.953 + 0.027 + 0.013 + 0.007$

خطوة 1.10.3

أضف $0.953$ و $0.027$ .

$0.98 + 0.013 + 0.007$

خطوة 1.10.4

أضف $0.98$ و $0.013$ .

$0.993 + 0.007$

خطوة 1.10.5

أضف $0.993$ و $0.007$ .

$1$

خطوة 1.11

بالنسبة إلى كل $x$ ، تقع الاحتمالية $P (x)$ في نطاق الأعداد بين $0$ و $1$ بما في ذلك كلاهما. وبالإضافة إلى ذلك، فإن مجموع الاحتمالات لجميع قيم $x$ المحتملة يساوي $1$ ، ما يعني أن الجدول يستوفي خاصيتَي توزيع الاحتمالات.

يستوفي الجدول خاصيتَي توزيع الاحتمالات:

خاصية 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ لجميع قيم $x$

خاصية 2: $0.64 + 0.223 + 0.09 + 0.027 + 0.013 + 0.007 = 1$

يستوفي الجدول خاصيتَي توزيع الاحتمالات:

خاصية 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ لجميع قيم $x$

خاصية 2: $0.64 + 0.223 + 0.09 + 0.027 + 0.013 + 0.007 = 1$

خطوة 2

يُقصد بمتوسط القيمة المتوقعة للتوزيع القيمة المتوقعة في حال استطاعت تجارب التوزيع الاستمرار إلى ما لا نهاية. ويساوي ذلك حاصل ضرب كل قيمة في احتماليتها المنفصلة.

$u = 0 \cdot 0.64 + 1 \cdot 0.223 + 2 \cdot 0.09 + 3 \cdot 0.027 + 4 \cdot 0.013 + 5 \cdot 0.007$

خطوة 3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $0$ في $0.64$ .

$u = 0 + 1 \cdot 0.223 + 2 \cdot 0.09 + 3 \cdot 0.027 + 4 \cdot 0.013 + 5 \cdot 0.007$

خطوة 3.2

اضرب $0.223$ في $1$ .

$u = 0 + 0.223 + 2 \cdot 0.09 + 3 \cdot 0.027 + 4 \cdot 0.013 + 5 \cdot 0.007$

خطوة 3.3

اضرب $2$ في $0.09$ .

$u = 0 + 0.223 + 0.18 + 3 \cdot 0.027 + 4 \cdot 0.013 + 5 \cdot 0.007$

خطوة 3.4

اضرب $3$ في $0.027$ .

$u = 0 + 0.223 + 0.18 + 0.081 + 4 \cdot 0.013 + 5 \cdot 0.007$

خطوة 3.5

اضرب $4$ في $0.013$ .

$u = 0 + 0.223 + 0.18 + 0.081 + 0.052 + 5 \cdot 0.007$

خطوة 3.6

اضرب $5$ في $0.007$ .

$u = 0 + 0.223 + 0.18 + 0.081 + 0.052 + 0.035$

خطوة 4

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أضف $0$ و $0.223$ .

$u = 0.223 + 0.18 + 0.081 + 0.052 + 0.035$

خطوة 4.2

أضف $0.223$ و $0.18$ .

$u = 0.403 + 0.081 + 0.052 + 0.035$

خطوة 4.3

أضف $0.403$ و $0.081$ .

$u = 0.484 + 0.052 + 0.035$

خطوة 4.4

أضف $0.484$ و $0.052$ .

$u = 0.536 + 0.035$

خطوة 4.5

أضف $0.536$ و $0.035$ .

$u = 0.571$

خطوة 5

تباين التوزيع هو أحد مقاييس التشتت ويساوي مربع الانحراف المعياري.

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

خطوة 6

املأ القيم المعروفة.

${(0 - (0.571))}^{2} \cdot 0.64 + {(1 - (0.571))}^{2} \cdot 0.223 + {(2 - (0.571))}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

خطوة 7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اضرب $- 1$ في $0.571$ .

${(0 - 0.571)}^{2} \cdot 0.64 + {(1 - (0.571))}^{2} \cdot 0.223 + {(2 - (0.571))}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

خطوة 7.1.2

اطرح $0.571$ من $0$ .

${(- 0.571)}^{2} \cdot 0.64 + {(1 - (0.571))}^{2} \cdot 0.223 + {(2 - (0.571))}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

خطوة 7.1.3

ارفع $- 0.571$ إلى القوة $2$ .

$0.326041 \cdot 0.64 + {(1 - (0.571))}^{2} \cdot 0.223 + {(2 - (0.571))}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

خطوة 7.1.4

اضرب $0.326041$ في $0.64$ .

$0.20866624 + {(1 - (0.571))}^{2} \cdot 0.223 + {(2 - (0.571))}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

خطوة 7.1.5

اضرب $- 1$ في $0.571$ .

$0.20866624 + {(1 - 0.571)}^{2} \cdot 0.223 + {(2 - (0.571))}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

خطوة 7.1.6

اطرح $0.571$ من $1$ .

$0.20866624 + {0.429}^{2} \cdot 0.223 + {(2 - (0.571))}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

خطوة 7.1.7

ارفع $0.429$ إلى القوة $2$ .

$0.20866624 + 0.184041 \cdot 0.223 + {(2 - (0.571))}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

خطوة 7.1.8

اضرب $0.184041$ في $0.223$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + {(2 - (0.571))}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

خطوة 7.1.9

اضرب $- 1$ في $0.571$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + {(2 - 0.571)}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

خطوة 7.1.10

اطرح $0.571$ من $2$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + {1.429}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

خطوة 7.1.11

ارفع $1.429$ إلى القوة $2$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 2.042041 \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

خطوة 7.1.12

اضرب $2.042041$ في $0.09$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

خطوة 7.1.13

اضرب $- 1$ في $0.571$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + {(3 - 0.571)}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

خطوة 7.1.14

اطرح $0.571$ من $3$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + {2.429}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

خطوة 7.1.15

ارفع $2.429$ إلى القوة $2$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 5.900041 \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

خطوة 7.1.16

اضرب $5.900041$ في $0.027$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 0.1593011 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

خطوة 7.1.17

اضرب $- 1$ في $0.571$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 0.1593011 + {(4 - 0.571)}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

خطوة 7.1.18

اطرح $0.571$ من $4$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 0.1593011 + {3.429}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

خطوة 7.1.19

ارفع $3.429$ إلى القوة $2$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 0.1593011 + 11.758041 \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

خطوة 7.1.20

اضرب $11.758041$ في $0.013$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 0.1593011 + 0.15285453 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

خطوة 7.1.21

اضرب $- 1$ في $0.571$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 0.1593011 + 0.15285453 + {(5 - 0.571)}^{2} \cdot 0.007$

خطوة 7.1.22

اطرح $0.571$ من $5$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 0.1593011 + 0.15285453 + {4.429}^{2} \cdot 0.007$

خطوة 7.1.23

ارفع $4.429$ إلى القوة $2$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 0.1593011 + 0.15285453 + 19.616041 \cdot 0.007$

خطوة 7.1.24

اضرب $19.616041$ في $0.007$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 0.1593011 + 0.15285453 + 0.13731228$

خطوة 7.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أضف $0.20866624$ و $0.04104114$ .

$0.24970738 + 0.18378369 + 0.1593011 + 0.15285453 + 0.13731228$

خطوة 7.2.2

أضف $0.24970738$ و $0.18378369$ .

$0.43349107 + 0.1593011 + 0.15285453 + 0.13731228$

خطوة 7.2.3

أضف $0.43349107$ و $0.1593011$ .

$0.59279218 + 0.15285453 + 0.13731228$

خطوة 7.2.4

أضف $0.59279218$ و $0.15285453$ .

$0.74564671 + 0.13731228$

خطوة 7.2.5

أضف $0.74564671$ و $0.13731228$ .

$0.882959$